Python 활용 #1: 선형 보간법 (linear interpolation) 을 구현해 보자.
결과 값
사용 Python platform: Python IDLE 3.8.3
사용 개념들: x=[], range(), len(), def, for ... loop, if ... else, and, in
목차
1. Motivation
2. 목표: x 가 1과 9 사이에 위치할 때, 즉 $ 1 < x_0 < 9 $ 일 경우, 이 $x_0$에 해당되는 $(x_0, y_0)$ 의 근사값을 계산해 보자.
Step 3. Python 을 가동하여 list x, list y, list slope, list y_intercept 를 생성하자.
Step 4. 목표 수정: 가정을 하나 더 추가하자. (0,0) 값을 추가하자. x 가 0(포함) 과 9(포함) 사이에 위치할 때, 이 x 값에 해당되는 $(x_0, y_0)$ 의 근사값을 계산하자.
Step 5. slope_generator 라는 함수(function) 을 생성하자.
Step 6. slope_generator 함수를 이용하자. 주어진 x=(1, 4, 9), y=(3, 8, 14)을 사용한다.
Step 7. y_intercept_generator 라는 함수를 생성하자. x 구간별로 y=mx+b 직선의 그래프에서 어떤 y절편 값 b을 사용할 것인지 수식화하자.
Step 8. Interpolation 에 적용할 x1 값들이 x=[1,4,9] 중 어느 구간에 속하는지 계산하자. 함수 location_check를 만든다.
Step 9. 테스팅할 x1 리스트와 x1 리스트에 해당되는 x1_in_x 리스트를 감안하여 x1 리스트에 해당되는 y_interpolated 리스트를 계산하자.
본문
Step 1. Motivation
가정1: 위 table 과 같이 순서쌍 (x,y) 값들이 주어졌다고 가정하자.
(order가 0에서부터 시작하는 이유: Python은 순서를 셀 때, 1이 아니라 0부터 센다고 한다.)
Step 2. 목표: x 가 1과 9 사이에 위치할 때, 즉 $ 1 < x_0 < 9 $ 일 경우, 이 $x_0$에 해당되는 $(x_0, y_0)$ 의 근사값을 계산해 보자.
즉, 일종의 interpolation 계산이다.
추가 가정들:
가정2: x와 y간 함수가 존재한다고 가정하자. $ f(x) = y $
가정3: 함수 f(x)는 x의 구간별로 함수가 적용되고, 각 구간별 f(x)는 직선의 방정식(linear equation)으로 표현할 수 있다.
$ \left\{\begin{matrix}
1\leqslant x \leqslant 4, & f(x)=m_1*x+b_1\\
4\leqslant x \leqslant 9, & f(x)=m_2*x+b_2
\end{matrix}\right. $
조금 일반적으로 표현하자면,
$ for \quad x \in (x_i, x_{i+1}) \quad and \quad i = 0, 1, 2 \quad \exists g(x) \quad where \quad g(x) = f(x) $
f(x) 함수는 선형 함수로 가정하고 $ f(x) = mx+b $
m은 $(x_i, y_i), (x_{i+1} , y_{i+1}) $를 이용해 정의한다: $ m=\frac{y_{i+1}-y_i}{x_{i+1}-x_i} $
직관적으로/시각적으로 표현하자면:
순서쌍 (x,y) 간 아래와 같은 선형(linear) 관계가 성립한다고 가정하자.
$ x_0 = 6 $ 으로 가정하자. f(6) 의 근사값을 계산해 보자.
Step 3. Python 을 가동하여 list x, list y, list slope, list y_intercept 를 생성하자.
이번 예제에서 나는 Python 3.8.3 IDLE 을 사용하였다.
x=[1,4,9] # x 값들을 입력한다.
y=[3,8,14] # y 값들을 입력한다.
>> len(x) =3
#즉, list x 의 길이는 3으로 출력된다. list y도 마찬가지.
지금까지 입력된 값들을 matrix로 표현하면,
$ x = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 9 \end{bmatrix} $
$ y = \begin{bmatrix} 3 \\ 8 \\ 14 \end{bmatrix} $
$matrix \quad A = \begin{bmatrix}
1 & 3\\
4 & 8\\
9 & 14
\end{bmatrix}$
기울기 list 와 y 절편 list를 위한 list를 생성하자.
일단, list의 값들은 0으로 부여하자.
x matrix 의 길이만큼 slope list 와 y 절편 (y-intercept) list를 생성하자.
slope = [0 for n in (range(0, len(x)))] # x matrix 길이만큼 slope matrix를 생성
y_intercept = [0 for n in (range(0, len(x)))] # x matrix 길이만큼 y_intercept matrix를 생성
설명: range(0:3) 은 0부터 (0포함) 3까지의 숫자 범위에 속하는 정수(integer)들의 집합을 나타낸다.
즉, $ [0, 3)$ 구간에 속하는 interger 이므로 range(0:3) = {0, 1, 2} 가 된다.
Python에서 표현해 보면,
list(range(0,3))
>>> [0, 1, 2]
내친김에 다른 예제도 시험해 보자.
list(range(-1,4))
>>> [-1, 0, 1, 2, 3]
list(0 for n in (range(0,3))) 을 설명해보자.
n in range(0,3)은 n in [0,1,2] 이라는 의미이며,
0 for n in [0, 1, 2] 은
n = 0 일때 list의 0번째 값을 0으로 설정하고,
n = 1 일때, list의 1번째 값을 0으로 설정하고,
n = 2 일때 list의 2번째 값을 0으로 설정하라는 의미이다.
즉, list(0 for n in (range(0,3))) = [0,0,0] 이 된다.
y_intercept 도 마찬가지의 논리로, [0,0,0] 이 되겠다.
$ slope = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $
$ y_ intercept = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $
지금까지 입력된 값들을 matrix로 표현하면,
$\begin{bmatrix}
1 & 3 & 0 & 0 \\
4 & 8 & 0 & 0 \\
9 & 14 & 0 & 0
\end{bmatrix}$
Step 4. 가정을 하나 더 추가하자. (0,0) 값을 추가하자.
Step 5. slope_generator 라는 함수(function) 을 생성하자. x 구간별로 y=mx+b 직선의 그래프에서 어떤 기울기값 m을 사용할 것인지 수식화하자.
f(x) 함수는 선형 함수로 가정하고 $ f(x) = mx+b $
m은 $(x_i, y_i), (x_{i+1} , y_{i+1}) $를 이용해 정의한다: $ m=\frac{y_{i+1}-y_i}{x_{i+1}-x_i} $
아래 그림을 참고하면 이해가 더 잘 될 것이다.
def slope_generator(x,y,slope):
for i in (range(0, len(x))):
if i==0:
slope[i] = y[i]/x[i]
else:
slope[i] = (y[i]-y[i-1])/(x[i]-x[i-1])
Step 6. slope_generator 함수를 이용하자. 주어진 x=(1, 4, 9), y=(3, 8, 14)을 사용한다.
slope_generator(x,y,slope)
slope
>>> [3.0, 1.6666666666666667, 1.2]
출력값 설명
$ 0 \leq x \leq 1 $ 일 경우, linear interpolation $y=f(x)=mx+b$ 에 쓰일 기울기 m 의 값은 3
$ 1 < x \leq 1 $ m 값은 1.666...
$ 4 < x \leq 9 $ m 값은 1.2
Step 7. y_intercept_generator 라는 함수를 생성하자. x 구간별로 y=mx+b 직선의 그래프에서 어떤 y절편 값 b을 사용할 것인지 수식화하자.
(x, y) 값과 m 값이 주어질 경우, y = mx + b 등식에서 y - mx = b가 계산된다. 이를 이용하자.
def y_intercept_generator(x,y,y_intercept):
for i in (range(0, len(x))):
if i==0:
y_intercept[i] == 0
else:
y_intercept[i] = y[i]-x[i]*(y[i]-y[i-1])/(x[i]-x[i-1])
y_intercept_generator(x,y,y_intercept) #y 절편값들을 출력해보자
출력값 설명
$ 0 \leq x \leq 1 $ 일 경우, linear interpolation $ y=f(x)=mx+b $ 에 쓰일 y-intercept b 의 값은 0
$ 1 < x \leq 4 $ 일 경우, linear interpolation $ y=f(x)=mx+b $ 에 쓰일 y-intercept b 의 값은 1.3333....
$ 4 < x \leq 9 $ 일 경우, linear interpolation $ y=f(x)=mx+b $ 에 쓰일 y-intercept b 의 값은 3.1999...
Step 8. Interpolation 에 적용할 x1 값들이 x=[1,4,9] 중 어느 구간에 속하는지 계산하자. 함수 location_check를 만든다.
테스트 할 x 값을 x1으로 지정하자.
x1=[0, 0, 0.5, 0.7, 0.3, 2, 1.3, 6, 7, 8, 8.3, 8.999]
x1의 값이 x=[1,4,9] 중 어느 구간에 속하는지 결과값을 저장할 x1_in_x 을 만든다.
x1_in_x 의 길이 = x1의 길이가 되어야 한다.
x1_in_x = [0 for n in (range(0, len(x1)))]
결과값들을 확인해 보자
>>> x1_in_x
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
>>> len(x1) == len(x1_in_x)
True
함수 location_check를 정의하자.
목표: x1의 값이 x=[1,4,9]의 구간 중
$ x \leq 1 $ 에 속하는가? 속한다면 결과값으로 1을 부여한다.
$ 1 < x \leq 4 $ 에 속하는가? 속한다면 결과값으로 4를 부여한다.
$ 4 < x \leq 9 $ 에 속하는가? 속한다면 결과값으로 9를 부여한다.
def location_check(x,x1,result):
for i in (range(0, len(x1))):
if x1[i] <= x[0]:
result[i] = x[0]
else:
for j in (range(0,len(x))):
if (x[j] < x1[i]) and (x1[i] <= x[j+1]):
result[i] = x[j+1]
함수가 정의되었으니, 주어진 x 값들과 x1값들로 x1_in_x를 계산해보자.
location_check(x,x1,x1_in_x)
값을 출력해 보자
>>> x1_in_x
[1, 1, 1, 1, 1, 4, 4, 9, 9, 9, 9, 9]
적절하게 계산이 되는 것 같다.
Step 9. 테스팅할 x1 리스트와 x1 리스트에 해당되는 x1_in_x 리스트를 감안하여 x1 리스트에 해당되는 y_interpolated 리스트를 계산하자.
$ y_1 = m*x_1 + b $ 수식에서, x_1에 해당되는 x 구간을 찾고, 해당 x 구간의 m 과 b를 사용하여 y를 계산한다.
$ x_1 \mapsto x \mapsto (m_x, b_x) \mapsto y = x*m_x + b_x $
직관적으로 구성해 보자.
x = [1, 4, 9]
slope = [3.0, 1.6666666666666667, 1.2]
y_intercept = [0, 1.333333333333333, 3.1999999999999993]
x1 = [0, 0, 0.5, 0.7, 0.3, 2, 1.3, 6, 7, 8, 8.3, 8.999]
예1 : $ x_1 = 0 \mapsto x=0 \mapsto (3, 0) \mapsto y = 0*3 + 0 $
예2 : $ x_1 = 1.3 \mapsto x 4 \mapsto (1.66.. \quad , 1.33...) \mapsto y = 1.3*1.66... + 1.33.. $
def y_interpolation(x, y, slope, y_intercept, x1, x1_in_x, y_interpolated):
for i in (range(0, len(x1_in_x))):
for j in (range(0, len(x))):
if x1_in_x[i] == x[j]:
y_interpolated[i]= slope[j] * x1[i] + y_intercept[j]
y_interpolation(x, y, slope, y_intercept, x1, x1_in_x, y_interpolated)
x1 list의 값들에 해당되는 y의 근사값을 출력하자
y_interpolated
[0.0, 0.0, 1.5, 2.0999999999999996, 0.8999999999999999, 4.666666666666666, 3.5, 10.399999999999999, 11.6, 12.799999999999999, 13.16, 13.9988]
끝
제목: Python 활용 #1: 선형 보간법 (linear interpolation) 을 구현해 보자. (야 너도 Python 코딩 할 수 있어! #1) (2020.12.25.)
사용 Python platform: Python IDLE 3.8.3
사용 개념들: x=[], range(), len(), def, for ... loop, if ... else, and, in
참고자료:
LaTex editor online www.codecogs.com/latex/eqneditor.php
Tistory blog에서 LaTex 입력하는 방법 bskyvision.com/476
